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Trasformazioni di Möbius

Posted by Prof su 26 giugno 2007

Möbius è famoso per il nastro, questo video mostra altre trasformazioni molto interessanti.

Le trasformazioni di Möbius sono tra le più importanti topologie geometriche con applicazioni sia nella mappatura del cervello che nella teoria della relatività. Una trasformazione di Möbius agisce sul piano mettendo in relazione ogni punto con il suo corrispondente.

Ci sono 4 tipi principali di trasformazioni: semplici traslazioni, dilatazioni, rotazioni e inversioni che rovesciano il piano da dentro a fuori. Le rette del piano o rimangono rette o diventano circonferenze mentre gli angoli retti rimangono sempre retti.

In generale le trasformazioni di Möbius possono essere complicate combinazioni di tutti e quattro i tipi.

La vera essenza delle trasformazioni di Möbius si osserva quando ci si muove nella terza dimensione dello spazio.

Prendendo spunto da Bernhard Riemann sistemiamo una sfera sul piano, una luce colpisce dall’alto la superficie sferica illuminando il piano sottostante. Quando la sfera si muove i corrispondenti punti sul piano si muovono, la sfera trasla e il piano trasla, la sfera si solleva e il piano si dilata, la sfera ruota e il piano con lei, una rotazione attorno ad un asse orizzontale corrisponde ad una inversione. Anche le più complicate trasformazioni di Möbius possono essere viste in modo semplice con il movimento della sfera.

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